已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆（x-1）2+（y-2）2=4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值

Question

已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；
（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2√(3)，求a的值．

Answer 1

（1）∵点M（3，1）到圆心（1，2）的距离d=√(4+1)=√(5)>2=圆半径r，
∴点M在圆（x-1）²+（y-2）²=4外，
∴当x=3时满足与M相切，
当斜率存在时设为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
由(|k-2+1-3k|)/(√(k2+1))=2，∴k=(3)/(4)．
∴所求的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．（5分）
（2）由ax-y+4=0与圆相切，
知(|a-2+4|)/(√(1+a2))=2，（7分）
解得a=0或a=(4)/(3)．（9分）
（3）圆心到直线的距离d=(|a+2|)/(√(1+a2))，（10分）
又l=2√(3)，r=2，
∴由r²=d²+（(l)/(2)）²，解得a=-(3)/(4)．（12分）