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已知方程ax2+4x+b=0(a<0)的两实根为m,n,方程ax2+3x+b=0的两实根为p,q.(1)若a,b均为负整数,且|p-q|=1,求a,b的值;(2)若p<1<q<2,m<n,求证:-2<m<1<n.
题目详情
已知方程ax2+4x+b=0(a<0)的两实根为m,n,方程ax2+3x+b=0的两实根为p,q.
(1)若a,b均为负整数,且|p-q|=1,求a,b的值;
(2)若p<1<q<2,m<n,求证:-2<m<1<n.
(1)若a,b均为负整数,且|p-q|=1,求a,b的值;
(2)若p<1<q<2,m<n,求证:-2<m<1<n.
▼优质解答
答案和解析
(1)ax2+4x+b=0有两个实数根,其判别式△=42-4ab≥0 得ab≤4
ax2+3x+b=0 有两个实数根,其判别式△=32-4ab≥0 得ab≤
∵p+q=-
,pq=
∴1=|p-q|2=(p+q)2-4pq=
-
,
∴a2+4ab=9 a(a+4b)=9
a,b均为负整数,则a+4b<a<0
a是9的约数,只可能a=-1,-3,-9,对应a+4b=-9,-3,-1
∴以只可能a=-1,a+4b=-9
a=-1,b=-2
(2)证明:p<1<q 有(p-1)(q-1)=pq-(p+q)+1=
+
+1<0
∵a<0,∴b+3+a>0;
p<1<q<2有 (p-2)(q-2)=pq-2(p+q)+4=
+
+4>0
∵a<0 所以b+6+4a<0 有 4a+b+6<0
(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=
+
<0
∴有m<1<n
又(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=
-
>0
∴m,n同时小于-2,或同时大于-2
∵n>1,∴只能m,n同时大于-2,
∴-2<m<1<n.
ax2+3x+b=0 有两个实数根,其判别式△=32-4ab≥0 得ab≤
9 |
4 |
∵p+q=-
3 |
a |
b |
a |
∴1=|p-q|2=(p+q)2-4pq=
9 |
a2 |
4b |
a |
∴a2+4ab=9 a(a+4b)=9
a,b均为负整数,则a+4b<a<0
a是9的约数,只可能a=-1,-3,-9,对应a+4b=-9,-3,-1
∴以只可能a=-1,a+4b=-9
a=-1,b=-2
(2)证明:p<1<q 有(p-1)(q-1)=pq-(p+q)+1=
b |
a |
3 |
a |
∵a<0,∴b+3+a>0;
p<1<q<2有 (p-2)(q-2)=pq-2(p+q)+4=
b |
a |
6 |
a |
∵a<0 所以b+6+4a<0 有 4a+b+6<0
(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=
a+b+3 |
a |
1 |
a |
∴有m<1<n
又(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=
b+4a+6 |
a |
14 |
a |
∴m,n同时小于-2,或同时大于-2
∵n>1,∴只能m,n同时大于-2,
∴-2<m<1<n.
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