A是p*n矩阵(p行n列),A的秩rank(A)=n,证明rank(A'A)=n(A'表示A的转置)

Question

A是p*n矩阵(p行n列),A的秩rank(A)=n,证明rank(A'A)=n (A'表示A的转置)

Answer 1

因为行秩=列秩,所以rank(A^(T))=n
由rank-nullity theorem知：A的零度为0,A^(T)的零度也为0.
考虑A^(T)A的零度,即考虑A^(T)Ax=0.
左边=A^(T)(Ax),因为A^(T)的零度为0,所以Ax=0,而A的零度为0,所以x=0,即A^(T)A的零度为0.
因为A^(T)A为n*n矩阵,由rank-nullity theorem知：ran(A^(T)A)=n