若α,β,γ是锐角,且tanα/2=tanγ/2的立方,tanβ=1/2tanγ,求证α,β,γ成等差数列

Question

若α,β,γ是锐角,且tanα/2=tanγ/2的立方,tanβ=1/2tanγ,求证α,β,γ成等差数列

Answer 1

根据题意
tanβ=(tanγ)/2=tan(γ/2)/[1-tan^2(γ/2)]
又
tan[(α+γ)/2]=[tan(α/2)+tan(γ/2)]/[1-tan(α/2)tan(γ/2)]
=[tan^3(γ/2)+tan(γ/2)]/[1-tan^4(γ/2)]
=tan(γ/2)[tan^2(γ/2)+1]/[tan^2(γ/2)+1][1-tan^2(γ/2)]
=tan(γ/2)/[1-tan^2(γ/2)]
=tanβ
由于α,β,γ均为锐角
所以(α+γ)/2=β
即α,β,γ为等差数列.