1.设函数x^2+4y^2+8x+7=0,x^2+y^2的最大值是__,此时x=__,y=__x^2+y^2的最小值是__,此时x=__,y=__2.已知函数f（x）=lg（x^2+2x+a）,若它的定义域为R,则a__,若它的值域为R,则a__ (这两问有什么联系?)

Question

1.设函数x^2+4y^2+8x+7=0,x^2+y^2的最大值是__,此时x=__,y=__
x^2+y^2的最小值是__,此时x=__,y=__
2.已知函数f（x）=lg（x^2+2x+a）,若它的定义域为R,则a__,
若它的值域为R,则a__ (这两问有什么联系?)

Answer 1

1.
x^2+4y^2+8x+7=(x+4)^2+4y^2-9=0
得[(x+4)^2/3^2]+[y^2/(3/2)^2]=1
这是一个椭圆,a=3,b=3/2
代入参数θ,使x=3cosθ-4,y=3sinθ/2,θ∈[0,2π]
则x^2+y^2=(3cosθ-4)^2+(3sinθ/2)^2
=9(cosθ)^2-24cosθ+16+9(sinθ)^2/4
=(cosθ)^2-24cosθ+16+9/4-9(cosθ)^2/4
=-5(cosθ)^2/4-24cosθ+73/4
这个方程相当于
求-5x^2/4-24x+73/4的最值,x∈[0,1]
这个关于x的方程对称轴为x=-48/5,开口向下,你想象一下,这个抛物线在[0,1]区间上是递减的,故x=0时方程有最大值,此时cosx=0,sinx=1或-1,x=-4,y=3/2或-3/2,最大值为73/4
x=1时方程有最小值,此时cosx=1,sinx=0,x=-1,y=0,最小值为-7
2.
这个题你要认真来想
这个函数定义域为R,说明当x取任意实数时,这个函数都有值,说明x^2+2x+a不管x取什么实数,值都是大于0的,即与x轴无交点,即判别式恒小于0,
即4-4a1
这个函数值域为R,说明只要lg函数的定义域能取到全体正数就好了,也就是说
x^2+2x+a的值能取到全体正数就好了,那么,这个开口向上的抛物线在什么时候值能取到全体正数呢?只要它和x轴有交点即可,即判别式大于等于0,得到a