在菱形ABCD中，∠ADC=120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC=50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：EG=BC；（3）

Question

在菱形ABCD中，∠ADC=120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC=50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：EG=BC；
（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：___．

Answer 1

（1）补全图形，如图1所示：

（2）证明：连接BE，如图2：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠DCB=60°．
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠DCA=(1)/(2)∠DCB=30°，
又∠DEC=50°，∠EDC=100°，
由菱形的对称性可知，
∠EBC=100°，
∠BEC=50°，则∠GEB=100°，
∴∠GEB=∠CBE．
∵∠FBC=50°，∴∠GBE=50°，
∴∠EBG=∠BEC．
在△GEB与△CBE中，

∠GEB=∠CBE

BE=EB

∠EBG=∠BEC

∴△GEB≌△CBE．
∴EG=BC．
（3）由（2）得，EC=BG，EG=BC，
∴AE+BG=AC，
在三角形ABC中，BA=BC，∠BAC=30°，
∴AC=√(3)BC，
∴AE+BG=√(3)EG．