在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，

Question

在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．
（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；
（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．
①依题意将图2补全；
②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．
小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．
想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．
想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．
…
请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，
∴∠BAC=2∠BAD=40°．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°．
∵E为AC中点，
∴EF=EA=(1)/(2)AC．
∴∠AFE=∠BAC=40°．

（2）①Ⅰ、当点P在边AB上时，补全图形如图1，

Ⅱ、当点P在AB的延长线上时，补全图形如图2，


②Ⅰ、当点P在边AB上时，
证明：想法1：如图3，

连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE．
【∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴AE=DE=CE=(1)/(2)AC．
同理可证AE=NE=CE=(1)/(2)AC．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，】
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．
【】里面的学过四点共圆的判断方法的可以换成：
∵∠ADC=∠ANC=90°，
∴点A，N，D，C四点共圆；

想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90°．
∵E为AC中点，
∴AE=NE=(1)/(2)AC．
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β．
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β．
∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α．
∴∠APE=2∠MAD．
Ⅱ、当点P在AB的延长线上时，
证明：想法1：如图4，
连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE．
∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴AE=DE=CE=(1)/(2)AC．
同理可证AE=NE=CE=(1)/(2)AC．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．

想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90°．
∵E为AC中点，
∴AE=NE=(1)/(2)AC．
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β．
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β．
∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α．
∴∠APE=2∠MAD．