如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；（2）若点E为BC的中点，PE=6，PC=42

Question

如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC

（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；
（2）若点E为BC的中点，PE=6，PC=4 √(2)，求PF的长；
（3）若正方形边长为4，直接写出PC的最小值___．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠APD=∠DPF=90°，
∴∠ADP+∠DAF=90°，∠ADP+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，

∠DAF=EDC

∠ADF=∠C

AD=CD

，
∴△ADF≌DCE，
∴DF=CE，
∵EC=(1)/(2)BC，BC=DC，
∴DF=(1)/(2)DC，
∴F点为DC的中点；

（2） 如图1中，设PF=a，
易知△DPF∽△APD∽△ADF，
∴PF：DP=DP：AP=DF：AD=1：2，
∴DP=2a，AP=4a，AF=DE=5a，
∴PE=3a=6，
∴a=2，
∴PF=2．


（3） 如图2中，作△ADP的外接圆⊙H，连接CH，PH，EF．

∵∠EPF=∠ECF=90°，
∴P、E、C、F在以EF为直径的⊙O上，
∵PH+PC≥CH，PH=2，CH=√(22+42)=2√(5)，
∴C、P、H共线时，PC的值最小，最小值为2√(5)-2．
故答案为2√(5)-2．