过点M（2,1）作直线L交x轴、y轴正方向A、B两点,求满足下列条件的直线L的方程（1）△AOB的面积最小值（答案,X+2Y-4=0)(2)lMAl*lMBl为最小值（答案X+Y-3=0）

Question

过点M（2,1）作直线L交x轴、y轴正方向A、B两点,求满足下列条件的直线L的方程
（1）△AOB的面积最小值（答案,X+2Y-4=0)
(2) l MA l*l MBl为最小值（答案X+Y-3=0）

Answer 1

 
如图,设A(a,0),B(0,b).则直线方程为 x/a＋y/b=1.
(1)∵直线过点(2,1),∴2/a＋1/b=1,则ab=a+2b,
   SΔAOB=ab/2=(a+2b)/2≧√(2ab)
  ∵最小值（等号）是在a=2b时取得的,∴代回直线方程得2/2b＋1/b=1,∴b=2
  则所求直线方程为：x/4＋y/2=1.即x+2y-4=0.
 
(2)过M作ME⊥OA于E,MD⊥OB于D,则DM=2,ME=1.
设MB=c1,MA=c2,AB=c.∵ΔBDM∽ΔMEA∽ΔBOA,∴c1/c=2/a,c2/c=1/b.
则c1 •c2=2c ²/(ab)=2(a ²+b ²)/(ab) ≧4.同样最小值的取得是在a=b的时候.
所以代回直线方程得2/a＋1/a=1,∴a=3,故方程为x/3＋y/3=1,即x+y-3=0.