已知过点P（1，-2），倾斜角为π6的直线l和抛物线x2=y+m（1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为43−23．

Question

已知过点P（1，-2），倾斜角为(π)/(6)的直线l和抛物线x²=y+m       
（1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？
（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为(4√(3)−2)/(3)．

Answer 1

（1）由已知可得直线l：y+2=(√(3))/(3)（x-1），
联立

y＝(√(3))/(3)(x−1)−2

x2＝y+m

得x²-(√(3))/(3)x+(√(3))/(3)+2-m=0，
因为有两个交点，所以△＝(1)/(3)-4（(√(3))/(3)+2-m）＞0，
解得m＞(23+4√(3))/(12)；             
（2）设直线l交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
则x₁+x₂=(√(3))/(3)，x₁x₂=(√(3))/(3)+2-m，
则|AB|=√((1+k2)((x1+x2)2−4x1x2)=
√((4)/(3)((1)/(3)−4((√(3))/(3)+2−m)))=(4√(3)−2)/(3)，
解得，m=(3√(3)+11)/(6)．