已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+m．（1）若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．

Question

已知圆x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+m．
（1）若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）已知圆的标准方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（0＜a≤4），
则圆心C的坐标是（-a，a），半径为2√(a)．
直线l的方程化为：x-y+4=0．则圆心C到直线l的距离是=(|4−2a|)/(√(2))＝√(2)|2-a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
L=2√((2√(a))2−(√(2)|2−a|)2)＝2√(−2a2+12a−8)＝2√(−2(a−3)2+10)
∵0＜a≤4，∴当a=3时，L的最大值为2√(10)．

（2）因为直线l与圆C相切，则有(|m−2a|)/(√(2))＝2√(a)，
即|m-2a|=2√(2a)．
又点C在直线l的上方，∴a＞-a+m，即2a＞m．
∴2a-m=2√(2a)，∴m=(√(2a)−1)2-1．
∵0＜a≤4，∴0＜√(2a)≤2√(2)．
∴m∈[-1，8-4√(2)]．