已知椭圆C：4x2+y2=1及直线l：y=x+m，m∈R．（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？（2）若直线l被椭圆C截得的弦长为225，求直线l的方程．

Question

已知椭圆C：4x²+y²=1及直线l：y=x+m，m∈R．
（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？
（2）若直线l被椭圆C截得的弦长为(2√(2))/(5)，求直线l的方程．

Answer 1

（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x²+（x+m）²=1，
即：5x²+2mx+m²-1=0，
△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0
解得：-(√(5))/(2)≤m≤(√(5))/(2)；
（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的两根，由韦达定理可得：
x₁+x₂=-(2m)/(5)，x₁x₂=(m2-1)/(5)，
|AB|=√(1+k2)|x₁-x₂|=√(1+k2)•√((x1+x2)2-4x1x2)=√(1+1)•√((-(2m)/(5))2-(4(m2-1))/(5))
=(2√(2))/(5)，解得，m=±1．检验成立．
则所求直线的方程是：y=x+1或y=x-1．