已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．
（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+(1)/(2)）²+（y-3）²=9(1)/(4)-m，
∴圆心C（-(1)/(2)，3），半径r²=9(1)/(4)-m＞0，即m＜(37)/(4)，
∵圆心C到直线l的距离d²=(5)/(4)，直线l与圆C没有公共点
∴9(1)/(4)-m＜(5)/(4)，即m＞8，
则m的范围为（8，(37)/(4)）；
（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，
将直线l与圆方程联立消去y得到：5x²+10x+4m-27=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=(4m−27)/(5)，y₁y₂=(3−x1)/(2)•(3−x2)/(2)=(9−3(x1+x2)+x1x2)/(4)=(15+(4m−27)/(5))/(4)，
∵x₁x₂+y₁y₂=0，
∴(4m−27)/(5)+(15+(4m−27)/(5))/(4)=-1，
解得：m=3．