在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．（Ⅰ）若B＝π4，且A为钝角，求内角A与C的大小；（Ⅱ）求sinB的最大值．

Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a²+c²=2b²．
（Ⅰ）若B＝(π)/(4)，且A为钝角，求内角A与C的大小；
（Ⅱ）求sinB的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题设及正弦定理，有sin²A+sin²C=2sin²B=1．
故sin²C=cos²A．因为A为钝角，所以sinC=-cosA．
由cosA＝cos(π−(π)/(4)−C)，可得sinC＝sin((π)/(4)−C)，得C＝(π)/(8)，A＝(5π)/(8)．
（Ⅱ）由余弦定理及条件b2＝(1)/(2)(a2+c2)，有cosB＝(a2+c2−b2)/(4ac)，
因a²+c²≥2ac，
所以cosB≥(1)/(2)．
故sinB≤(√(3))/(2)，
当a=c时，等号成立．从而，sinB的最大值为(√(3))/(2)．