一个三角形中的不等式.s.R.r分别为三角形的面积外接圆半径内接圆半径,求证a^4+b^4+c^4≥16s^2+(a-b)^4+(a-c)^4+(b-c)^4题目上说的是a^4÷b^4+c^4我认为他打印错了.

Question

一个三角形中的不等式.
s.R.r分别为三角形的面积外接圆半径内接圆半径,求证a^4+b^4+c^4≥16s^2+(a-b)^4+(a-c)^4+(b-c)^4 题目上说的是a^4÷b^4+c^4 我认为他打印错了.

Answer 1

三角形里的不等式很多用到这个代换a=y+z,b=z+x,c=x+y ,x,y,z>0
由海伦公式知:s=√[xyz(x+y+z)]
展开整理知原不等式等价于x^3y+xy^3+y^3z+yz^3+z^3x+xz^3>=2xyz(x+y+z)
由均值不等式得:x^3y+xy^3+z^3x+zx^3>=4(x^8y^4z^4)^(1/4)=4x^2yz
同理有：x^3y+xy^3+y^3z+yz^3>=4y^2xz
y^3z+yz^3+z^3x+zx^3>=4z^2xy
3式相加,即得原不等式成立.