如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x-1，判断下列抛物线②y=-x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是

Question

如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线①y=x²+2x-1，判断下列抛物线②y=-x²+2x+1；③y=x²+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C₁：y=(1)/(8)（x+1）²-2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₁与C₂关联，求抛物线C₂的解析式．
（3）A为抛物线C₁：y=(1)/(8)（x+1）²-2的顶点，B为与抛物线C₁关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵①抛物线y=x²+2x-1=（x+1）²-2的顶点坐标为M（-1，-2），
∴②当x=-1时，y=-x²+2x+1=-1-2+1=-2，
∴点M在抛物线②上；
∵③当x=-1时，y=x²+2x+1=1-2+1=0，
∴点M不在抛物线③上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其顶点坐标为（1，2），
经验算：（1，2）在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；
（2）抛物线C₁：y=(1)/(8)（x+1）²-2的顶点M的坐标为（-1，-2），
∵动点P的坐标为（t，2），
∴点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，
∴点N的纵坐标为6，
当y=6时，(1)/(8)（x+1）²-2=6，
解得：x₁=7，x₂=-9，
①设抛物C₂的解析式为：y=a（x-7）²+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，
∴a=-(1)/(8)．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-(1)/(8)（x-7）²+6；
②设抛物C₂的解析式为：y=a（x+9）²+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，
∴a=-(1)/(8)．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-(1)/(8)（x+9）²+6；  
（3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类：
①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F，则△BCF≌△CAH，
∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c-1），
当点B在抛物线C₁：y=(1)/(8)（x+1）²-2上时，c-1=(1)/(8)（c+2+1）²-2，
解得：c=1．
②当A，B，C顺时针分布时，如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D，
同理可得：点B′的坐标为（-c-2，c+1），
当点B′在抛物线C₁：y=(1)/(8)（x+1）²-2上时，c+1=(1)/(8)（-c-2+1）²-2，
解得：c=3+4√(2)或c=3-4√(2)．
综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C₁（0，1），C₂（0，3+4√(2)），C₃（0，3-4√(2)）．