已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，S₄=8+6d，
由条件得方程组

2+3d+2q3=27

8+6d-2q3=10

，
解得：

d=3

q=2

，故a_n=3n-1，b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（2）T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①
2T_n=2×2²+5×2³+8×2⁴+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=8-8×2ⁿ+3n×2ⁿ⁺¹．