已知点A(2.3)关于直线l:x+2y=0的对称点是A'(1)求A'的坐标(2)若点A与A'都在已知点A(2.3)关于直线l:x+2y=0的对称点是A'(1)求A'的坐标(2)若点A与A'都在圆C上且与直线x-y+1=0相交的玄长为2√2,求圆C方程

Question

已知点A(2.3)关于直线l:x+2y=0的对称点是A'(1)求A'的坐标 (2)若点A与A'都在
已知点A(2.3)关于直线l:x+2y=0的对称点是A'(1)求A'的坐标
(2)若点A与A'都在圆C上且与直线x-y+1=0相交的玄长为2√2,求圆C方程

Answer 1

（1）设过点A且与l垂直的直线为L1,
因为直线l：y=-x/2,所以：L1的斜率k=2,
由点斜式,L1：y=2(x-2)+3,即y=2x-1,
y=-x/2,y=2x-1联列方程组,得：x=2/5,y=-1/5；
即L1与l的交点为(2/5,-1/5),这个点就是A,A'的中点；
设点(xA',y),由中点公式：(x+2)/2=2/5,(y+3)/2=-1/5；分别得：x=-6/5,y=-17/5；
所以,点A'的坐标为(-6/5,-17/5)
（2）圆过A,则A'圆心C在的中A'垂线上,
由（1）直线l：x+2y=0就是AA'的中垂线,圆心C在l上,所以,设C(-2b,b)；
则半径r²=AC²=(-2b-2)²+(b-3)²=5b²+2b+13；
C到直线x-y+1=0的距离d,则d²=(-3b+1)²/2=9b²/2-3b+1/2,
由半弦长√2,垂径d,半径r构成直角三角形；
由勾股定理：r²=d²+2；即：5b²+2b+13=9b²/2-3b+1/2+2；
整理得：b²/2+5b+21/2=0,即：b²+10b+21=0,即：(b+3)(b+7)=0；得：b=-3或b=-7
b=-3时,C(6,-3),r²=52；此时圆的方程为：(x-6)²+(y+3)²=52；
b=-7时,C(14,-7),r²=244；此时圆的方程为：(x-14)²+(y+7)²=244；