已知数列{an}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0．若ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比数列，且b1=1，b2=2，b3=5．（1）求数列{bn}的通项公式bn；（2）设cn=log3（2bn-1），求和Tn=c1c2-c2c3+c3c4-c4c5+…+c2n-1c2

Question

已知数列{a_n}为等差数列，首项a₁=1，公差d≠0．若a_b1，a_b2，a_b3，…，a_bn，…成等比数列，且b₁=1，b₂=2，b₃=5．
（1）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）设c_n=log₃（2b_n-1），求和T_n=c₁c₂-c₂c₃+c₃c₄-c₄c₅+…+c_2n-1c_2n-c_2nc_2n+1．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}为等差数列，首项a₁=1，公差d≠0．
a_b1，a_b2，a_b3，…，a_bn，…成等比数列，且b₁=1，b₂=2，b₃=5．
∴a22=a1•a5，∴（1+d）²=1×（1+4d），
1+2d+d²=1+4d，
解得d=2或d=0（舍），
ab1=a1=1，ab2=3．∴q=3…（3分）
abn=1+(bn-1)×2=2bn-1=1×3n-1，
∴bn=(3n-1+1)/(2)…（6分）
（2）c_n=log₃（2b_n-1）=n-1…（7分），
T_n=c₂（c₁-c₃）+c₄（c₃-c₅）+c₆（c₅-c₇）+…+c_2n（c_2n-1-c_2n+1）
=-2（c₂+c₄+…+c_2n）
=-2[1+3+5+…+（2n-1）]
=-2n²…（12分）