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已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N+).
题目详情
已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N+).
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N+).
▼优质解答
答案和解析
(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2-6=0.
又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.
由S11=11b4,可得a1+5d=16②,
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(II)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,
由a2n=6n-2,b2n-1=
×4n,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)4n,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-1)4n+1,
上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)4n+1
=
-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8
得Tn=
×4n+1+
.
所以,数列{a2nb2n-1}的前n项和为
×4n+1+
.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2-6=0.
又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.
由S11=11b4,可得a1+5d=16②,
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(II)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,
由a2n=6n-2,b2n-1=
1 |
2 |
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)4n,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-1)4n+1,
上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)4n+1
=
12×(1-4n) |
1-4 |
得Tn=
3n-2 |
3 |
8 |
3 |
所以,数列{a2nb2n-1}的前n项和为
3n-2 |
3 |
8 |
3 |
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