设AT=（a1，a2，…，an-1）是n×（n-1）矩阵，其秩为n-1，β1，β2是与a1，a2，…，an-1均正交的两个不同的n维列向量，k是任意常数，那么Ax=0的解为（）A.kβ1B.kβ2C.k（β1-β2）D.k（β1+β2

Question

设A^T=（a₁，a₂，…，a_n-1）是n×（n-1）矩阵，其秩为n-1，β₁，β₂是与 a₁，a₂，…，a_n-1均正交的两个不同的n维列向量，k是任意常数，那么Ax=0的解为（　　）

A. kβ₁

B. kβ₂

C. k（β₁-β₂）

D. k（β₁+β₂）

Answer 1

由于A^T是n×（n-1）矩阵，
则A是（n-1）×n矩阵，其秩r（A）=r（A^T）=n-1，
所以Ax=0得基础解系是n-r（A）=1个向量，
又β₁，β₂与a₁，a₂，…，a_n-1均正交，
既αiTβ1=0，αiTβ2=0，
所以β₁，β₂是Ax=0的两个不同解．
因为β₁，β₂中可能会有零向量，
所以A，B均不能选，
因为β₁≠β₂，
所以必有β₁-β₂≠0，
而且β₁-β₂是Ax=0的解，
所以β₁-β₂必是Ax=0的基础解系，
故选C向量组线性方程组．
故选：C．