1/1+1/2+1/3+1/4+……+1/(p-1)=R/Q,且p为奇质数,求证R为p的倍数另……我不会欧拉定理,

Question

1/1+1/2+1/3+1/4+……+1/(p-1)=R/Q,且p为奇质数,求证R为p的倍数
另……我不会欧拉定理,

Answer 1

因为p为奇质数,所以原式左边部分可以分成两个一组并通分：
1/1+1/2+1/3+1/4+……+1/(p-1)
=[1/1+1/(p-1)]+[1/2+1/(p-2)]+…+{1/[(p-1)/2]+1/[(p+1)/2]}
（注：(p-1)/2和(p+1)/2就是最中间的那两个整数）
=p/(p-1)+p/[2(p-2)]+…+p/[(p-1)(p+1)/4]
=p×{1/(p-1)+1/[2(p-2)]+…+1/[(p-1)(p+1)/4]}
=p×一个分数
用最简分数a/b来表示这个分数
可以知道b是1/(p-1)+1/[2(p-2)]+…+1/[(p-1)(p+1)/4]的公分母约分后的结果,即b是1×2×3×…×(p-2)×(p-1)的约数
因为p是质数,所以p和b互质
也就是说p×a/b=pa/b为左边算式的最简分数结果
又R/Q也是左边算式的结果
那么R一定是pa的倍数
故R一定是p的倍数