（1+x）+(1+x)^2.(1+x)^n=a0+a1x+.anx^na1+a2...+an-1=509-n

Question

（1+x）+(1+x)^2.(1+x)^n=a0+a1x+.anx^n
a1+a2...+an-1=509-n

Answer 1

令x=1
则(1+1)+(1+1)^2+……+(1+1)^n=a0+a1+a2+……+a(n-1)+an
左边等于2*(2^n-1)/(2-1)
=2^(n+1)-2
所以2^(n+1)-2=a0+a1+a2+……+a(n-1)+an
又a0是常数项,而(1+x）+(1+x)^2.(1+x)^n的常数项都是1
所以a0=n
x^n只有(1+x)^n有,则显然an=1
所以2^(n+1)-2=n+a1+a2+……+a(n-1)+1
a1+a2...+an-1=509-n
所以2^(n+1)-2=n+509-n+1=510
2^(n+1)=512=2^9
n+1=9
n=8