已知{an}是一个公差小于0的等差数列，且满足a3a7=-27，a2+a8=6（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，在由所有前n项和Sn组成的数列{Sn}中，哪一项最大，最大项是多少？

Question

已知{a_n}是一个公差小于0的等差数列，且满足a₃a₇=-27，a₂+a₈=6
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，在由所有前n项和S_n组成的数列{S_n}中，哪一项最大，最大项是多少？

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为a．
由题可知，d＜0，
∵a₃a₇=-27，a₂+a₈=6，∴a₂+a₇=6，
∴a₃，a₇是方程x²-6x-27=0的两个根，
∵d＜0，解得a₃=9，a₇=-3，
所以d=(−3−9)/(7−3)=-3，a₁=15，
所以a_n=-3n+18，n∈N^*．
（2）由（1）可知，S_n=15n+(n(n−1))/(2)×(−3)
=−(3)/(2)n2+(33)/(2)n=-(3)/(2)(n−(11)/(2))2+(363)/(8)，
所以当n=5或n=6时，S_n取得最大值，最大值为S₅=S₆=45．
故在由所有前n项和S_n组成的数列{S_n}中，
第5项或者第6项最大，最大项是S₅=45或S₆=45．