设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，ab∈S；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，-r∈S，r=0有且仅有一个成立．证明：S是由全体正有理数组成的集合．

Question

设S为满足下列条件的有理数的集合：
①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，ab∈S；
②对任一个有理数r，三个关系r∈S，-r∈S，r=0有且仅有一个成立．
证明：S是由全体正有理数组成的集合．

Answer 1

证明：设任意的r∈Q，r≠0，由②知r∈S，或，-r∈S之一成立，再由①，若r∈S，则r2∈S；若-r∈S，则r2=（-r）•（-r）∈S，总之，r2∈S，取r=1，则1∈S．再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全体正整数都属于S，设...