（2014•洛阳二模）已知等差数列{an}满足：a3=4，a5+a7=14，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

（2014•洛阳二模）已知等差数列{a_n}满足：a₃=4，a₅+a₇=14，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=(1)/(an2−1)（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，
∵a₃=4，a₅+a₇=14，
∴a₁+2d=4，2a₁+10d=14，
∴a₁=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
S_n=n×2+(1)/(2)n（n-1）×1=(n2+3n)/(2)，
即a_n=n+1，S_n=(n2+3n)/(2)；
（Ⅱ）∵a_n=n+1，∴a_n²-1=（n+1）²-1=n（n+2），
∴b_n=(1)/(n(n+2))=(1)/(2)（(1)/(n)-(1)/(n+2)），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b_n-2+b_n-1+b_n
=(1)/(2)（1-(1)/(3)+(1)/(2)-(1)/(4)+(1)/(3)-(1)/(5)+(1)/(4)-(1)/(6)+(1)/(5)-(1)/(7)+…+(1)/(n−2)-(1)/(n)+(1)/(n−1)-(1)/(n+1)+(1)/(n)-(1)/(n+2)）
=(1)/(2)（1+(1)/(2)-(1)/(n+1)-(1)/(n+2)）=

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