已知函数f（x）满足f（1）=a且f（n+1）=﹛（f（n）-1）／f（n）f（n）＞1﹛2f（n）,f（n）≤9已知函数f（x）满足f（1）=a且f（n+1）=﹛（f（n）-1）／f（n）f（n）＞1﹛2f（n）,f（n）≤9,若对任意

Question

已知函数f（x）满足f（1）=a且f（n+1）=﹛（f（n）-1）／f（n） f（n）＞1 ﹛2f（n）,f（n）≤9
已知函数f（x）满足f（1）=a且f（n+1）=﹛（f（n）-1）／f（n） f（n）＞1
﹛2f（n）,f（n）≤9
,若对任意的x∈N+,总有f（n+3）=f（n）成立,则a在﹙0,1]内的可能值有多少个?

Answer 1

分析：欲求出对任意的n∈N*总有f（n+3）=f（n）成立时a在（0,1]内的可能值,只须考虑n=1时,使得方程f（4）=f（1）的a在（0,1]内的可能值即可．对a进行分类讨论,结合分段函数的解析式列出方程求解即可．
∵0＜a≤1,∴f（2）=2f（1）=2a,
①当0＜a≤1/4时,0＜2a≤1/2,0＜4a≤1,
∴f（3）=2f（2）=4a,
f（4）=2f（3）=8a,
此时f（4）=f（1）不成立；
②当1/4＜a≤1/2时,1/2＜2a≤1,1＜4a≤2,
∴f（3）=2f（2）=4a,
f（4）=[f(3)-1]/f(3)=﹙4a-1﹚/4a,
此时f（4）=f（1）⇔﹙4a-1﹚/4a=a⇔a=1/2；
③当1/2＜a≤1时,1＜2a≤2,2＜4a≤4,
∴f（3）=[f(2)-1]/f(2)=（2a-1)/2a≤1/2,
∴f（4）=2f（3）=（2a-1）/a,
此时f（4）=f（1）⇔（2a-1)/a=a⇔a=1；
综上所述,当n=1时,有f（n+3）=f（n）成立时,
则a在（0,1]内的可能值有两个．

点评：本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、方程式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想．

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