设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值；(2)求证：数列为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式.

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*.已知a₁=1，a₂=，a₃=，且当n≥2时，4S_n+2+5S_n=8S_n+1+S_n-1.

(1)求a₄的值；

(2)求证：数列为等比数列；

(3)求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

.(1) 当n=2时，4S₄+5S₂=8S₃+S₁，

即4+5=8+1，解得a₄=.

(2) 因为4S_n+2+5S_n=8S_n+1+S_n-1(n≥2)，所以4S_n+2-4S_n+1+S_n-S_n-1=4S_n+1-4S_n(n≥2)，即4a_n+2+a_n=4a_n+1(n≥2)，因为4a₃+a₁=4×+1=6=4a₂，所以4a_n+2+a_n=4a_n+1.

因为====，

所以数列是以a₂-a₁=1为首项、为公比的等比数列。

(3) 由(2)知，数列是以a₂-a₁=1为首项、为公比的等比数列，所以a_n+1-a_n=.

即-=4，所以数列是以=2为首项、4为公差的等差数列，所以=2+(n-1)×4=4n-2，即a_n=(4n-2)×=(2n-1)×，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=(2n-1)×.