在数列{an}中,a1=1,Sn=（n^2）*an,分别求出a2,a3,a4,猜想an并用数学归纳法证明.

Question

在数列{an}中,a1=1,Sn=（n^2）*an,分别求出a2,a3,a4,猜想an并用数学归纳法证明.

Answer 1

1+a2=4a2 ,所以 a2=1/3 ；
1+1/3+a3=9a3 ,所以 a3=1/6 ；
1+1/3+1/6+a4=16a4 ,所以 a4=1/10 ,
猜想：an=2/[n(n+1)] .
证明：（1）n=1 时显然成立.
（2）设当 n=k 时,ak=2/[k(k+1)] ,
则 a(k+1)=S(k+1)-Sk=(k+1)^2*a(k+1)-k^2*ak=(k+1)^2*a(k+1)-2k/(k+1) ,
解得 a(k+1)=2/[(k+1)(k+2)] ,
这说明当 n=k+1 时,an=2/[n(n+1)] 也成立,
根据（1）（2）可知,an=2/[n(n+1)] 对任意正整数 n 都成立.