已知a＞0b＞0a+b=1求证[1/a平方-1][1/b平方-1]已知a＞0b＞0a+b=1求证[1/a平方-1][1/b平方-1]≥9

Question

已知a＞0 b＞0 a+b=1求证[1/a平方-1][1/b平方-1]
已知a＞0 b＞0 a+b=1求证[1/a平方-1][1/b平方-1]≥9

Answer 1

(1/a^2 -1)(1/b^2 -1)= (1-a^2)*(1-b^2)/(ab)^2= (1+a)(1+b)(1-a)(1-b)/(ab)^2
因为1-a=b,1-b=a,所以
上式＝ (1＋a)(1+b)ab/(ab)^2
= (1+a)(1+b)/(ab)= 1/a+1/b+1/(ab)+1
由均值不等式：1/a+1/b ≥2*√1/(ab) 当且仅当a＝b时不等号成立
上式≥ 1/ab+2/√(ab)+1= (1/√ab+1)^2
当a=b=0.5时,(1/√ab+1)^2＝(1/0.5+1)^2=3^2=9
所以上式≥9.证毕.