设Tn为数列{an}的前n项的积，即Tn=a1•a2…an．（1）若Tn=n2，求a3a4a5的值；（2）若数列{an}各项都是正数，且满足Tn=a2n4（（n∈N*），证明数列{log2an}为等比数列，并求{an}的通项公式；（3）数列{a

Question

设T_n为数列{a_n}的前n项的积，即T_n=a₁•a₂…a_n．
（1）若T_n=n²，求a₃a₄a₅的值；
（2）若数列{a_n}各项都是正数，且满足T_n=(a2n)/(4)（（n∈N^*），证明数列{log₂a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}共有100项，且满足以下条件：①a₁•a₂…a₁₀₀=2；②等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2对1≤k≤99，k∈N^*恒成立．试问符合条件的数列共有多少个？为什么？

Answer 1

（1）∵T_n=a₁•a₂…a_n=n²，
∴a₃a₄a₅=(T5)/(T2)=(25)/(4)．
（2）当n=1时，a₁=T₁=(a12)/(4)，
∴a₁=4，log₂a₁=2，
当n≥2时，an＝(Tn)/(Tn−1)=(an2)/(an−12)，
∵a_n＞0，∴an＝an−12，
∴log₂a_n=2log₂a_n-1，
∴数列{log₂a_n}为等比数列，
log_aa_n=2ⁿ，∴an＝22n．
（3）∵a₁×a₂×…×a₁₀₀=2；
等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=3对1≤k≤99，k∈N^*恒成立，
∴a₁+a₂•a₃×…×a₁₀₀=k+2，
∴a1+(2)/(a1)＝3，解得a₁=1，或a₁=2．
T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一个实根，
△=[-（k+2）]²-4=k²+4k＞0，
当数列前k（2≤k≤98）项确定后，
其前k项积T_k确定，
由T_k+1可得到两个a_k+1，
所以符合条件的数列共有2⁹⁹个．