对{a(n)},括号里的n是下标,有a(n)^2-ba(n)=a(n-1)^2,n>=2,b>0,为常数,且a(n)>0.已知a(1),求a(n)、S(n).一天内解决的再送100分,不好意思，ba(n)前面是加号

Question

对{a(n)},括号里的n是下标,有a(n)^2-ba(n)=a(n-1)^2,n>=2,b>0,为常数,且a(n)>0.已知a(1),求a(n)、S(n).
一天内解决的再送100分,
不好意思，ba(n)前面是加号

Answer 1

a(n)^2+ba(n)=a(n-1)^2
(a(n)+(b/2))^2=a(n-1)^2+(1/4)b^2
a(n)=-(b/2)+(a(n-1)^2+(1/4)b^2)^(1/2) (因a(n)>0)
a(2)=-(b/2)+(a(1)^2+(1/4)b^2)^(1/2)
a(3)=-(b/2)+(a(2)^2+(1/4)b^2)^(1/2)=-(b/2)+((-(b/2)+(a(1)^2+(1/4)b^2)^(1/2))^2+(1/4)b^2)^(1/2)
=-(b/2)+((3/4)b^2-b(a(1)^2+(1/4)b^2)^(1/2))^(1/2)
a(4)=-(b/2)+((3/4)b^2-b(a(2)^2+(1/4)b^2)^(1/2))^(1/2)
=-(b/2)+((3/4)b^2-b(((3/4)b^2-b(a(1)^2+(1/4)b^2)^(1/2))^(1/2))^(1/2)
...
a(n)=-(b/2)+((3/4)b^2-b...这后面省略,总共有(n-1)个根号套在一起,包在最里面的根号里是(a(1)^2+(1/4)b^2)
形式就是这么复杂,如果是在纸上写根号会比较容易表示得多,在这里就很难表示,本人觉得这个式子也是没法化简的.
因:a(n)^2+ba(n)=a(n-1)^2
所以:a(n)^2-a(n-1)^2=-ba(n)
a(n-1)^2-a(n-2)^2=-ba(n-1)
a(n-2)^2-a(n-3)^2=-ba(n-2)
...
a(3)^2-a(2)^2=-ba(3)
a(2)^2-a(1)^2=-ba(2)
以上各式相加,得:
a(n)^2-a(1)^2=-bS(n)+ba(1)
S(n)=a(1)+(a(1)^2-a(n)^2)(1/b)