设函数f(x)=a1+a2x+a3^2+.+anx^n-1,f(0)=1/2,数列{an｝满足f（1）=n^2an,求数列｛an｝通项公式

Question

设函数f(x)=a1+a2x+a3^2+.+anx^n-1,f(0)=1/2,数列{an｝满足f（1）=n^2an,求数列｛an｝通项公式

Answer 1

令x=0
f(0)=a1=1/2
令x=1
f(1)=a1+a2+...+an=Sn=n²×an
n=1时,S1=a1=1/2
n≥2时,
Sn=n²×an S(n-1)=(n-1)²×a(n-1)
Sn-S(n-1)=an=n²×an -(n-1)²×a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
n=1时,a1=1/1-1/2=1/2,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=1/n -1/(n+1).