已知f(x)在x=a可导,且f(x)>0,n为自然数,求lim[f(a+1/n)/f(a)]^n(n趋向于无穷)麻烦给解释下：lim[f(a+1/n)/f(a)]^n=e^lim[f(a+1/n)/f(a)]/1/n=e^f'(a)为什么成立？

Question

已知f(x)在x=a可导,且f(x)>0,n为自然数,求lim[f(a+1/n)/f(a)]^n (n趋向于无穷)
麻烦给解释下：lim[f(a+1/n)/f(a)]^n=e^lim[f(a+1/n)/f(a)]/1/n=e^f'(a)
为什么成立？

Answer 1

lim[f(a+1/n)/f(a)]^n
=lim[1+f(a+1/n)/f(a) -1 ]^n
=lim{1+[f(a+1/n)-f(a)]/f(a) }^n
=lim{1+[f(a+1/n)-f(a)]/[n(1/n)f(a)] }^n
=lim{1+[f(a+1/n)-f(a)]/(1/n) * 1/nf(a) }^n
令t=[f(a+1/n)-f(a)]/(1/n)
=lim{1+t/nf(a) }^n
=lim{1+t/nf(a) }^[nf(a)/t *(t/f(a)）]
因为n趋于无穷时,t趋于f'(a),{1+t/nf(a) }^nf(a)/t 趋于e
=e^(f'(a)/f(a))