（2012•郑州二模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=2AB，B1C1∥.12BC，二面角A1-AB-C是直二面角．（I）求证：A1B1⊥平面AA1C；（II）求证：AB1∥平面A1C1C；（II）求BC与

Question

（2012•郑州二模）如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=√(2)AB，B₁C₁

∥

.

(1)/(2)BC，二面角A₁-AB-C是直二面角．
（I）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C； 
（II）求证：AB₁∥平面 A₁C₁C；
（II）求BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为AB=AC，BC=√(2)AB，所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC，
又因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁，
又因为AC、AA₁⊂平面AA₁C，AC∩AA₁=A
所以AB⊥平面AA₁C；
又因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB∥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C；       …（4分）

（Ⅱ）证明：取BC中点D，连接AD，B₁D，C₁D．
∵B₁C₁∥BC且B₁C₁=(1)/(2)BC，D为BC中点
∴B₁C₁∥DB且B₁C₁=DB，
∴四边形B₁C₁DB是平行四边形，可得C₁D∥B₁B
又A₁A∥B₁B且A₁A=B₁B，A₁A∥C₁D且A₁A=C₁D，
所以，A₁ADC₁是平行四边形
所以，A₁C₁∥AD，所以AD∥平面A₁C₁C；
同理，B₁D∥平面A₁C₁C；
又因为B₁D∩AD=D，所以平面ADB ₁∥平面A₁C₁C；
所以AB₁∥平面A₁C₁C；         …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）AB⊥平面AA₁C，又二面角A₁-AB-C是直二面角，可知，AA₁，AC，AB两两互相垂直，建立如图2示坐标系，设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A₁（0，0，2），C（2，0，0），C₁（1，1，2）
所以

A1C1

＝(1，1，0)，

A1C

＝(2，0，−2)．
设平面A₁C₁C的一个法向量为

m

＝(x，y，1)
由√(相关问答若数列{an}中,an不等于0（n>=1),a1=数列,a1+a2m-1为什么会等于2am做等比数列的题目,有时候要讨论公比不等于0,而有时不等式a1^n+a2^n+.+an^n>=na1.已知等比数列｛an}中,a5-a1=15,a4-a已知数列an首项a1不等于0,Sn+1=2Sn+a若数列{an}中,an不等于0（n>=1),a1=附加题：如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1在等比数列{an}中,q=√3,a6=27,a1=已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=在等差数列{an}中,a1小于0,S9=S12.则在等比数列｛an｝中,a3=1/3,a7=3/16首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)