几道高数关于极限方面的问题IIIa1=1,an=1+1/(1+an-1)(n-1为下标)证明{an}收敛并求liman（下标为n趋向于无穷）II求lim(1+a)(1+a^2)(1+a^3)...(1+a^(2^n))|a|

Question

几道高数关于极限方面的问题II
I
a1=1,an=1+1/(1+an-1) (n-1为下标)
证明{an}收敛并求lim an （下标为n趋向于无穷）
II
求lim(1+a)(1+a^2)(1+a^3)...(1+a^(2^n)) |a|

Answer 1

　　I. 用单调有界定理可解.事实上,首先,用归纳法可证
　　　　1 <= a(n) <= 2,n = 1, 2, 3, …,
即 {a(n)} 是有界的.其次,因
　　　　a(n) = … = 1+ [1+a(n-2)]/[3+2a(n-1)],
因而
　　 a(n+2) -a(n) = … = [a(n) - a(n-2)]/[3+2a(n)][3+2a(n-2)],
即a(n+2) - a(n) 与 a(n) - a(n-2) 同号,知 {a(2n)} 和 {a(2n-1)} 都是单调的.根据单调有界定理 {a(2n)} 和 {a(2n-1)} 都收敛,……,可求得它们有共同的极限√2.
　　II. 有错,第三个括号的 3 应为 4.注意到
　 　(1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^(2^n))
　　= (1-a)(1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^(2^n))/(1-a)
　　= (1-a^2)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^(2^n))/(1-a)
　　= ……
　　= {1-a^[2^(n+1]}/(1-a),
而 |a|<1,因此
　　　　g.e. = 1/(1-a).