已知数列满足：，，且.．(I)求证：数列为等差数列；(II)求数列的通项公式；(III)求下表中前n行所有数的和．

Question

已知数列满足：，，且.．
(I)求证：数列为等差数列；
(II)求数列的通项公式；
(III)求下表中前n行所有数的和．
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Answer 1

【分析】(1)把所给的递推式整理，构造要求的数列形式，仿写一个递推式，用数列的后一项去减前一项，合并同类项，发现满足等差中项公式，得到结论．
(2)写出(1)中的数列通项，用叠乘的方法把其他项都约去，得到第n项和第一项，因第一项可求出结果，所以得到通项公式．
(3)根据表中构造的新数列，由它的特点写出第n行的各数之和，代入所求数列的通项，整理出组合数形式，用二项式定理的各项系数之间的关系，得到第n行的各数之和，于是构造一个新数列用等比数列前n项和公式求解．

(I)∵
=
=，
∴，
∴数列满足等差中项公式，为等差数列．
(II)由(I)得
故当n≥2时，…
即
又当n=1时，满足上式
所以通项公式为．
(III)∵
∴第n行各数之和
∴表中前n行所有数的和
S_n=(2²-2)+(2³-2)+…+(2ⁿ⁺¹-2)
=(2²+2³+…+2ⁿ⁺¹)-2n
=
=2ⁿ⁺²-2n-4

【点评】有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．