设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x0|＜a，称x0为集合X的聚点.用Z表示整数集，则在下列集合中：①{nn+1|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{1n|n∈Z

Question

设集合X是实数集R的子集，如果点x₀∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，称x₀为集合X的聚点.用Z表示整数集，则在下列集合中：
①{(n)/(n+1)|n∈Z，n≥0}；  ②{x|x∈R，x≠0}；③{(1)/(n)|n∈Z，n≠0}；   ④整数集Z
以0为聚点的集合有（　　）
A. ②③
B. ①④
C. ①③
D. ①②④

Answer 1

①中，集合{(n)/(n+1)|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大(1)/(2)，
∴在a＜(1)/(2)的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{(n)/(n+1)|n∈Z，n≥0}的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=(a)/(2)（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=(a)/(2)＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合{(1)/(n)|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞(1)/(a)，使0＜|x|=(1)/(n)＜a
∴0是集合{(1)/(n)|n∈Z，n≠0}的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A