已知函数f（x）=（x-1）ex+ax2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2<0．

Question

已知函数f（x）=（x-1）e^x+ax²有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x₁，x₂是f（x）的两个零点，证明x₁+x₂<0．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）f'（x）=xe^x+2ax=x（e^x+2a）（1分）
（i）当a>0时，
函数f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．                 （2分）
∵f（0）=-1<0，f（2）=e²+4a>0，
取实数b满足b<-2且ba（b-1）+ab²=a（b²+b-1）>a（4-2-1）>0，
（3分）
所以f（x）有两个零点．                                           （4分）
（ii）若a=0，则f（x）=（x-1）e^x，故f（x）只有一个零点．          （5分）
（iii）若a<0，由（I）知，
当a≥-(1)/(2)，则f（x）在（0，+∞）单调递增，又当x≤0时，f（x）<0，故f（x）不存在两个零点；
当a<-(1)/(2)，则函数在（ln（-2a），+∞）单调递增；在（0，ln（-2a））单调递减．又当x≤1时，f（x）<0，故不存在两个零点．                                （6分）
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．                            （7分）
证明：（Ⅱ）不妨设x₁<x₂．
由（Ⅰ）知x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，+∞），-x₂∈（-∞，0），则x₁+x₂<0等价于x₁<-x₂．
因为函数f（x）在（-∞，0）单调递减，
所以x₁<-x₂等价于f（x₁）>f（-x₂），即证明f（-x₂）<0．（8分）
由f(x2)=(x2-1)ex2+a

x

2 2

=0，得a

x

2 2

=(1-x2)ex2，f(-x2)=(-x2-1)e-x2+a

x

2 2

=(-x2-1)e-x2+(1-x2)ex2，（9分）
令g（x）=（-x-1）e^-x+（1-x）e^x，x∈（0，+∞）．（10分）
g'（x）=-x（e^-x+e^x）<0，g（x）在（0，+∞）单调递减，又g（0）=0，所以g（x）<0，
所以f（-x₂）<0，即原命题成立．（12分）