设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列{1anan+1}的前9项和为．

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=9，a₂为整数，且S_n≤S₅，则数列{ (1)/(anan+1)}的前9项和为___．

Answer 1

在等差数列{a_n}中，设公差为d，由S_n≤S₅得：
可得a₅≥0，a₆≤0，
又∵a₁=9，
∴

9+4d≥0

9+5d≤0

，解得-(9)/(4)≤d≤-(9)/(5)，
∵a₂为整数，∴d=-2，
∴{a_n}的通项为：a_n=11-2n；
∴设b_n=(1)/(anan+1)=(1)/((11-2n)(9-2n))=(1)/(2)（(1)/(9-2n)-(1)/(11-2n)），
∴数列{(1)/(anan+1)}的前9项和为T₉=(1)/(2)（(1)/(7)-(1)/(9)+(1)/(5)-(1)/(7)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(-9)-(1)/(-7)）
=(1)/(2)（-(1)/(9)+(1)/(-9)）=-(1)/(9)．
故答案为：-(1)/(9)．