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如图1,已知点E在正方形ABCD的边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并
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如图1,已知点E在正方形ABCD的边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否总成立?请给出证明;
②在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEF是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否总成立?请给出证明;
②在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEF是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1) 如图1,取AB的中点G,连接EG,
△AGE与△ECF全等;
(2)①若点E在线段BC上滑动时,AE=EF总成立.
证明:如图2,在AB上截取AH=EC,连接EH,
∵AB=BC,
∴BH=BE,
∴△HBE是等腰直角三角形,
∴∠AHE=180°-45°=135°,
又∵CF平分正方形的外角,
∴∠ECF=135°,
∴∠AHE=∠ECF.
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AHE≌△ECF,
∴AE=EF;
②答:存在,如图3,
过D作DM⊥AE交AB于点M,
则有:DM∥EF,连接ME、DF,
∵在△ADM与△BAE中,
,
∴△ADM≌△BAE(AAS),
∴MD=AE,
∵AE=EF,
∴MD=EF,
∵MD∥EF,
∴四边形DMEP为平行四边形.
△AGE与△ECF全等;
(2)①若点E在线段BC上滑动时,AE=EF总成立.
证明:如图2,在AB上截取AH=EC,连接EH,
∵AB=BC,
∴BH=BE,
∴△HBE是等腰直角三角形,
∴∠AHE=180°-45°=135°,
又∵CF平分正方形的外角,
∴∠ECF=135°,
∴∠AHE=∠ECF.
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AHE≌△ECF,
∴AE=EF;
②答:存在,如图3,
过D作DM⊥AE交AB于点M,
则有:DM∥EF,连接ME、DF,
∵在△ADM与△BAE中,
|
∴△ADM≌△BAE(AAS),
∴MD=AE,
∵AE=EF,
∴MD=EF,
∵MD∥EF,
∴四边形DMEP为平行四边形.
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