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设A是n阶可逆方阵,证明:n维向量a1,a2.an线性无关的充要条件是Aa1,Aa2.Aa线性无关
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设A是n阶可逆方阵,证明:n维向量a1,a2.an线性无关的充要条件是Aa1,Aa2.Aa线性无关
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答案和解析
证明: (Aa1,Aa2.Aan) = A(a1,a2.an)
所以 R[(Aa1,Aa2.Aan)] = R[A(a1,a2.an)]
因为A可逆
所以 R[A(a1,a2.an)] = R(a1,a2.an)
即有 R[(Aa1,Aa2.Aan)] = R(a1,a2.an)
所以
a1,a2.an线性无关
r(a1,a2.an) = n
R[(Aa1,Aa2.Aan)] =n
Aa1,Aa2.Aa线性无关.
所以 R[(Aa1,Aa2.Aan)] = R[A(a1,a2.an)]
因为A可逆
所以 R[A(a1,a2.an)] = R(a1,a2.an)
即有 R[(Aa1,Aa2.Aan)] = R(a1,a2.an)
所以
a1,a2.an线性无关
r(a1,a2.an) = n
R[(Aa1,Aa2.Aan)] =n
Aa1,Aa2.Aa线性无关.
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