满足|y+z|^2011+|z+x|^2011+|x+y|^2012=2的整数数组（x、y、z）有（）组?

Question

满足|y+z|^2011+|z+x|^2011+|x+y|^2012=2的整数数组（x、y、z）有（ ）组?

Answer 1

一、证明：｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中至少有一者为0.
∵x、y、z都是整数,
∴当｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜都不为0时,｜y＋z｜≧1、｜z＋x｜≧1、｜x＋y｜≧1.
显然无法满足原方程.
∴｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中至少有一者为0.
二、证明：｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中只能有一者为0.
显然不可能｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜都为0.
当｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中有两者为0时,
不失一般性,设｜y＋z｜＝｜z＋x｜＝0,得：x＝－z、y＝－z,∴x＝y,
原方程就是｜2x｜^2012＝2.这明显是不成立的.
∴｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中只能有一者为0.
三、证明：｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中没有一者大于或等于2.
显然,若｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中有一者≧2,
则：｜y＋z｜^2012＋｜z＋x｜^2012＋｜x＋y｜^2012≧2^2012＞2.原方程不成立.
∴｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中没有一者大于或等于2.
综上所述,得：｜y＋z｜、｜z＋x｜、｜x＋y｜中有一者为0,另两者为1.
由｜y＋z｜＝0、｜z＋x｜＝｜x＋y｜＝1.
∴｜y＋z｜^2012＋｜z＋x｜^2012＋｜x＋y｜^2012
＝｜z＋x｜＋｜x＋y｜
≧｜z＋x＋x＋y｜
＝｜2x｜,
∴｜2x｜≦2,∴｜x｜≦1,∴x＝1,或x＝－1,或x＝0.
1、当x＝1时,由｜x＋y｜＝1,得：y＝0,∴｜y＋z｜＝｜0＋z｜＝0,∴z＝0.
　　∴x＝1、y＝0、z＝0是原方程的一组解.
2、当x＝－1时,由｜x＋y｜＝1,得：y＝0,∴｜y＋z｜＝｜0＋z｜＝0,∴z＝0.
　　∴x＝－1、y＝0、z＝0是原方程的一组解.
3、当x＝0时,由｜x＋y｜＝1,得y＝1,或y＝－1,进而对应有：z＝－1,或z＝1.
　　∴x＝0、y＝1、z＝－1和x＝0、y＝－1、z＝1是原方程的两组解.
∴由｜y＋z｜＝0、｜z＋x｜＝｜x＋y｜＝1能得到四组解.
∵x、y、z轮换时,原方程不变,∴原方程共有12组解.