如图,正方形ABCD的边长为a,点P.Q.R.S分别在AB.BC.CD.DA上,且BQ=2AP.CR=3AP.DS=4AP、问AP长多少时,四边形PQRS的面积有最小值?最小值是多少?

Question

如图,正方形ABCD的边长为a,点P.Q.R.S分别在AB.BC.CD.DA上,且BQ=2AP.CR=3AP.DS=4AP、问AP长多少时,四边形PQRS的面积有最小值?最小值是多少?

 

Answer 1

设：AP=b
BQ=2b
.CR=2b
.DS=4b
已知AB=a
四边形PQRS的面积S=正方形ABCD的面积(a^2)-四个三角形的面积.
即
S=a^2-1/2[b*(a-4b)+2b*(a-b)+3b*(a-2b)+4b*(a-3b)]
化简
S=a^2-5ab+12b^2
再化成抛物线的标准方程：
S=12[(b-5a/24)^2+a^2-(5a/24)^2]
S=12(b-5a/24)^2+23*a^2/48
即当b=5a/24的时候.抛物线取得最小值为23*a^2/48
所以四边形PQRS的面积S的最小值为23*a^2/48
（方法应该没错...就是不知道计算结果有没有算对...纯笔算的不敢包啊.）