如图所示，“蜗牛状”轨道OAB竖直固定在水平地面BC上，与地面在B处平滑连接．其中，“蜗牛状”轨道由内壁光滑的两个半圆轨道OA、AB平滑连接而成，半圆轨道OA的半径R=0.6m，下端O刚好是半

Question

如图所示，“蜗牛状”轨道OAB竖直固定在水平地面BC上，与地面在B处平滑连接．其中，“蜗牛状”轨道由内壁光滑的两个半圆轨道OA、AB平滑连接而成，半圆轨道OA的半径R=0.6m，下端O刚好是半圆轨道AB的圆心．水平地面BC长x_BC=7m，C处是一深坑．一质量m=0.5kg的小球，从O点沿切线方向以某一速度v₀进入轨道OA后，沿OAB轨道运动至水平地面．已知小球与水平地面间的动摩擦因数μ=0.7，取g=10m/s²．

（1）为使小球不脱离OAB轨道，小球在O点的初速度的最小值v_min多大？
（2）若v₀=9m/s，求小球在B点对半圆轨道的压力；
（3）若v₀=9m/s，通过计算说明，小球能否落入深坑？

Answer 1

（1）在A点，由牛顿第二定律mg=m(v2A)/(2R)①
O→A，由动能定理-mg2R=(1)/(2)m

v

2 A

-(1)/(2)m

v

2 min

②
代入数据得v_min=6m/s③
（2）O→B，由动能定理mg2R=(1)/(2)mv_B²-(1)/(2)mv₀²　　　　④
B点，由牛顿第二定律F_N-mg=(mv2B)/(2R)⑤
代入数据得F_N=48.75N⑥
由牛顿第三定律，压力F_N′=F_N=48.75N⑦
（3）水平面上，设小球从B到停止的过程中经过的位移为x
由运动学公式-2ax=0-v_B²⑧
由牛顿第二定律μmg=ma⑨
代入数据得x=7.5m>x_BC=7m⑩
故小球能落入深坑
答：（1）小球在O点的初速度的最小值v_min为6m/s；
（2）若v₀=9m/s，求小球在B点对半圆轨道的压力为48.75N；
（3）若v₀=9m/s，小球能落入深坑．