（2014•烟台模拟）如图所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r=0.4m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=25N/m的轻弹簧，轻弹簧下端固

Question

（2014•烟台模拟）如图所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r=0.4m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=25N/m的轻弹簧，轻弹簧下端固定，上端恰好与管口D端齐平．质量为m=1kg的小球在曲面上距BC的高度为h=0.8m处从静止开始下滑，进入管口C端时与圆管恰好无作用力，通过CD后压缩弹簧，已知弹簧的弹性势能表达式为E_p=(1)/(2)kx²，x为弹簧的形变量，小球与BC间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s²．求：
（1）小球达到B点时的速度大小v_B；
（2）水平面BC的长度s；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大速度v_m．

Answer 1

（1）由机械能守恒得：mgh=(1)/(2)mv_B²  
解得：v_B=√(2gh)=√(2×10×0.8)=4m/s  
（2）由mg=m(v2c)/(r)   
代入数据得：v_C=2m/s  
由动能定理得： mgh-μmgs=(1)/(2)mv_C²  
代入数据得：s=1.2m   
（3）设在压缩弹簧过程中小球速度最大时离D端的距离为x，则有：
kx=mg  
得：x=(mg)/(k)=(1×10)/(25)=0.4m  
由功能关系得：mg（r+x）-(1)/(2)kx²=(1)/(2)mv_m²-(1)/(2)mv_C²  
代入数据得：v_m=4m/s  
答：（1）小球达到B点时的速度大小v_B为4m/s；
（2）水平面BC的长度s为1.2m；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大速度v_m为4m/s．