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整系数多项式P（x）满足P（19）=P（94）=1994,求P（x）的常数项（已知它的绝对值小于1000）.
题目详情
整系数多项式P（x）满足P（19）=P（94）=1994,求P（x）的常数项（已知它的绝对值小于1000）.
▼优质解答
答案和解析
设P(x)的常数项为a0,则
P(x)＝x?Q(x)+a0
其中Q(x)是整系数多项式,所以
P(19)＝19n+a0
P(94)=94m+a0
其中m、n为整数．
由P(19)=P(94)得19n=94m,所以
n=94k,m=19k(k为整数)
于是19?94k+a0=1994,由此得
a0=1994-1786k
因为｜a0｜＜1000,所以k=1,a0=208．
这样的多项式是存在的．例如
-x2+113x+208=-(x-19)(x-94)+1994
这是第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题 6．
P(x)＝x?Q(x)+a0
其中Q(x)是整系数多项式,所以
P(19)＝19n+a0
P(94)=94m+a0
其中m、n为整数．
由P(19)=P(94)得19n=94m,所以
n=94k,m=19k(k为整数)
于是19?94k+a0=1994,由此得
a0=1994-1786k
因为｜a0｜＜1000,所以k=1,a0=208．
这样的多项式是存在的．例如
-x2+113x+208=-(x-19)(x-94)+1994
这是第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题 6．
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