对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数.①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立已知函数g(x)=log2(x+1)与h(x)=2^x-b是定义在[0,1]上

Question

对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数.
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0 ②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立已知函数g(x)=log2(x+1)与h(x)=2^x-b是定义在[0,1]上的函数
（1）试问函数g(x)是否为G函数
（2）若函数h(x)是G函数,求实数b组成的集合

Answer 1

（1）g(x)>=0这个很明显吧,不说了.关键是证明不等式：
g(x1 + x2) = log 2(x1 + x2 + 1),
g(x1) + g(x2) = log 2(x1 + 1) + log 2(x2 + 1) = log [4(x1+1)(x2+1)] ,
由于2(x1 + x2 + 1) - 4(x1+1)(x2+1)
= 2x1 + 2x2 + 2 - 4x1x2 - 4x1 - 4x2 - 4
= -4x1x2 - 2x1 - 2x2 -2 ,由于x都是正的,所以这个式子肯定小于0,从而
2(x1 + x2 + 1) < 4(x1+1)(x2+1),g(x1 + x2) < g(x1) + g(x2),g函数不是G函数；
（2）你说的是h(x) = 2^x - b,b在指数外面吧?
首先必须满足非负性：当x属于[0,1],h(x)必须是正的,因此只要最小值非负就可以了,h在这段的最小值是h(0) = 1-b>=0,所以b= 2^(x1) + 2^(x2) - b
令t1 = 2^(x1),t2 = 2^(x2),则t1,t2的范围是[1,2],上述不等式可以表达为：
t1*t2 >= t1 + t2 - b >= 2sqrt(t1*t2) - b,
最后一个不等式是重要不等式.所以,如果令u = sqrt(t1*t2),那么b必须满足（不等式第一项>=第三项）：
u^2 >= 2u - b,对任何u属于[1,2]成立,因此b >= 2u - u^2,也就是说要让函数h是G函数,
b必须大于等于二次函数2u-u^2的最大值（因为f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)这个不等式是要求对任意x1,x2都得成立的）.最大值正好在u=1取,所以b >= 1.
刚才利用第一个条件求得b >= 1,所以b只可能为1.验证下发现,此时：
h(x1 + x2) - h(x1) - h(x2) = [2^(x1) -1][2^(x2) - 1] >=0,满足G函数的条件.
所以最终的答案是b=1.