集合A=﹛x|x=3n+1,n∈Z﹜,B=﹛x|x=3n+2,n∈Z﹜,C=﹛x|x=6n+3,n∈Z﹜.(1)若c∈C,求证:必存在a∈A,b∈B,使c=a+b.（2）对任意的a∈A,b∈B,是否一定有a+b∈C?是证明你的结论

Question

集合A=﹛x|x=3n+1,n∈Z﹜,B=﹛x|x=3n+2,n∈Z﹜,C=﹛x|x=6n+3,n∈Z﹜.(1)若c∈C,求证:必存在a∈A,b∈B,使c=a+b.（2）对任意的a∈A,b∈B,是否一定有a+b∈C?是证明你的结论

Answer 1

1.
证：
设a=3k+1,b=3p+2 (其中k,p为偶数),令c=6q+3
a+b=3k+1+3p+2
=3(k+p)+3
=6(k/2 +p/2) +3,
对于c=6q+3,偶数k,p满足k+p=2q时,c=a+b.
因此若c∈C,必存在a∈A,b∈B,使c=a+b.
2.
由1得只有当k,p同为偶数时,a+b才是C中的元素,因此对任意的a∈A,b∈B,不一定有a+b∈C