如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，⊙C的半径为2，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与⊙C切于点M，则PM的取值范围为23≤PM≤2723≤PM≤27．

Question

如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，⊙C的半径为2，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与⊙C切于点M，则PM的取值范围为

2√(3)≤PM≤2√(7)

2√(3)≤PM≤2√(7)

．

Answer 1

连结PC、MC、OC、BC，如图，
∵直径AB=8，
∴OB=OC=4，
∵C为半圆的中点，
∴OC⊥AB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴BC=√(2)OC=4√(2)，
∵PM与⊙C切于点M，
∴CM⊥PM，
∴∠PMC=90°，
在Rt△PMC中，PM²=PC²-MC²=PC²-4，
当PC最小时，PM最小，此时点P在C点处，所以PM的最小值=√(42−4)=2√(3)；
当PC最大时，PM最大，此时点P在点A或B点时，所以PM的最大值=√((4√(2))2−4)=2√(7)，
∴PM的取值范围为2√(3)≤PM≤2√(7)．
故答案为2√(3)≤PM≤2√(7)．